Étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3

Soit `f` la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x^2+5\) .

1. Calculer la dérivée de la fonction `f` .

2. Étudier le signe sur \(\mathbb{R}\) de \(f'(x)\) à l'aide d'un tableau de signes.

3. En déduire le tableau de variations de la fonction `f` .

Solution

1. La fonction `f` est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(f'(x)=-\dfrac{1}{3} \times 3x^2+ 2x+0\) soit \(f'(x)=-x^2+2x\) .

2. Factorisons \(f'(x)\) afin d'étudier son signe : pour tout réel `x` , \(f'(x)=x(-x+2)\) .

\(-x+2=0 \iff -x=-2 \iff x=2\)

La fonction affine \(x \longmapsto -x+2\) est décroissante (coefficient de \(x\) négatif) d'où le tableau de signes ci-dessous.

3. On déduit du tableau de signes précédent le tableau de variations de la fonction `f` .

On complète le tableau en calculant les images de 0 et de 2 par la fonction `f` :

\(f(0)=-\dfrac{1}{3} \times 0^3+ 0^2+5=5\)

\(f\left(2\right)=-\dfrac{1}{3} \times 2^3+2^2+5=-\dfrac{8}{3}+9=-\dfrac{8}{3}+\dfrac{27}{3}=\dfrac{19}{3}\)

Ces résultats peuvent être obtenus à l'aide d'une calculatrice graphique (voir les tutoriels dans « Activités numériques »).